Théorème de Gram-Schimdt :
Soit \(\sigma:E\times E\to{\Bbb K}\) une forme bilinéaire sur un espace \({\Bbb K}\)-vectoriel de dimension finie \(E\)
Soit \(\{e_1,\ldots,e_n\}\) une base de \(E\)
On suppose que chaque mineur principal \(\delta_k\) de la matrice \(A\) (par rapport à la base \(\{e_1,\ldots,e_n\}\)) est non-nul pour \(k=1,\ldots,n\)
Alors \(E\) possède une base orthogonale vérifiant $${{v_k}}={{e_k+\sum_{i=1}^{k-1}\lambda_iv_i}}\quad\text{ et }\quad {{Q(v_k)}}={{\frac{\delta_k}{\delta_{k-1} } }}$$
Théorème de Gram-Schmidt :
\(\sigma:E\times E\to{\Bbb K}\) est une forme bilinéaire
\(E\) est un espace \({\Bbb K}\)-vectoriel
\(E\) est de dimension finie
\(\{e_1,\dots,e_n\}\) est une base de \(E\)
chaque mineur principal \(\delta_k\) de la matrice \(A\) (par rapport à la base \(\{e_1,\dots,e_n\}\)) est non nul pour \(k\in\{1,\dots,n\}\)
$$\Huge\iff$$
\(E\) possède une base orthogonale
cette base orthogonale vérifie : $$v_k=e_k+\sum^{k-1}_{i=1}\lambda_iv_i$$
elle vérifie aussi : $$Q(v_k)=\frac{\delta_k}{\delta_{k-1} }$$
(Espace vectoriel, Forme bilinéaire, Mineur, Base orthogonale)
Remarque ( théorème de Gram-Schimdt) :
L'une des hypothèses du théorème de Gram-Schimdt affirme que le mineur \(\delta_k\) de \(A\) vérifie $${{Q(v_k)}}={{\frac{\delta_k}{\delta_{k-1} } }}$$ et ceci est vrai pour la base orthogonale \(\{v_i\}^n_{i=1}\)
Remarque (théorème de Gram-Schmidt) :
La matrice de \(\sigma\) dans la base \(\{v_i\}^n_{i=1}\) est : $$B={{\begin{pmatrix} Q(v_1)&&0\\ &\ddots\\ 0&&Q(v_n)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\delta_1/\delta_0&&0\\ &\ddots\\ 0&&\delta_n/\delta_{n-1}\end{pmatrix}}}$$
Dans l'algorithme de Gram-Schmidt, $${{\lambda_{ik} }}={{-\frac{\sigma(e_k,e_i)}{q(e_k)}v_k }}$$
Dans l'algorithme de Gram-Schmidt, $${{v_2}}={{e_2-\frac{\sigma(e_2,v_1)}{q(v_1)}v_1}}$$
Dans l'algorithme de Gram-Schmidt, $${{v_3}}={{e_3-\frac{\sigma(e_3,v_1)}{q(v_1)}v_1-\frac{\sigma(e_3,e_2)}{q(v_2)}v_2}}$$